Robert Langlands als revolutionair

Edward Witten is hoogleraar aan het gerenommeerde Insitute for Advance Study te Princeton waar Einstein tot aan zijn dood onderzoek heeft verricht. Hij staat bekend om zijn vermogen om tamelijk esotherische branches van de wiskunde op fundamentele natuurkundige modellen van elementaire deeltjes weten toe te passen. Zo heeft hij in 1989 de theorie van elementaire deeltjes op zijn kop gezet door die aan de knopentheorie te koppelen, de tak van de wiskunde die ernaar streeft om knopen te klassificeren en elke mogelijke knoop met een uniek getal aan te duiden. Dit en andere wetenschappelijke prestaties bezorgden hem het jaar daarop de Fields Medal, de hoogste onderscheiding in de wiskunde. Twee jaar geleden verrastten Witten en de in Californië residerende jonge Russische professor Anton Kapustin de hoge-energiefysica weer met een preprint van maar liefst 225 pagina’s. Het gerucht deed al lang de ronde dat Witten met iets belangrijks bezig was, maar de details waren niet bekend.

Stel u leest morgen in de krant dat wetenschappers ontdekt hebben dat er een diep verband bestaat tussen de inhoud van de schilderijen die in het Rijksmuseum en in het Van Gogh Museum hangen. Dat wil zeggen dat elk schilderij in het Rijksmuseum een respectievelijk “spiegelbeeld” in het Van Gogh Museum heeft (en dat een aantal missende schilderijen na veel zoeken in de kelder is gevonden). Dat er dus op de Nachtwacht net zo veel personen staan als zonnebloemen op De Zonnebloemen van van Gogh; dat de verhouding tussen het aantal belichte en onbelichte personen precies overeenkomt met de verhouding tussen lichte en donkere zonnebloemen. Dat verder ook de ruimtelijke verdeling van de personages en het perspectief exact in verband staan tot die van de zonnebloemen, en dat ook computeralyse van beide schilderijen een verband aantoont tussen hun licht- en kleurverhoudingen. Dat deze verbanden ook paarsgewijs tussen alle andere schilderijen in het Rijksmueum en het Van Gogh Museum is aangetoond: tussen de Vrolijke Drinker van Frans Hals en van Gogh’s Zelfportret met Vilthoed, tussen het Melkmeisje van Vermeer en van Gogh’s Portret van Camille Roulin, etc. Puur toeval uitgesloten, zou u zich natuurlijk afvragen of van Gogh zich daarvan bewust is geweest.
Dit (absurde) voorbeeld staat zeker niet ver van de radikaliteit van de verbanden die de wiskundige Robert Langlands in 1967 heeft vermoed. Nu veertig jaar sinds de eerste formulering van deze vermoedens beginnen wiskundigen vat te krijgen op de inhoud ervan. Het bewijs van de beroemde laatste stelling van Fermat bijvoorbeeld, is een onderdeel van deze vermoedens. En sinds vorig jaar zijn ook natuurkundigen daarin geïnteresseerd. Het Langlands-programma is een vergaand netwerk van connecties tussen wiskundige objecten die schijnbaar niets met elkaar te maken hebben maar die, zoals de schilderijen, elkaars “spiegelbeelden” zijn. Deze verbanden zijn in de laatste jaren niet alleen bevestigd maar zelfs uitgebreid en deels bewezen. Dit relatief jonge vakgebied is ondertussen tot een soort overkoepelend raamwerk voor een groot deel van de moderne wiskunde uitgegroeid.

Om wat voor verbanden gaat het? En waarom zijn natuurkundigen daarin geïnteresseerd? Het onderdeel van het Langlands programma dat de interesse wekt van natuurkundigen, is een toepassing van het onzekerheidsbeginsel van Heisenberg in de wiskunde. Volgens Heisenberg is het onmogelijk om tegelijkertijd de lokatie en de snelheid van een deeltje met grote nauwkeurigheid vast te stellen. Meten we de positie van een deeltje, dan zijn er sterke fluctuaties in zijn snelheid, en omgekeerd. De keerzijde van dit beginsel is dat de ruimtelijke positie de toestand van het deeltje volledig bepaalt. Plaatsbepaling van het deeltje geeft er een volledig beeld van, zonder dat we iets over de snelheid hoeven te weten – ja we kunnen zelfs de snelheid niet bepalen zonder de toestand van het deeltje te verstoren. Omgekeerd bepaalt de snelheid de fysische toestand van het deeltje volledig. Deze beschrijvingen, via plaats en snelheid, zijn gelijkwaardig, aldus Heisenberg.

Maar nog even terug naar de schilderkunst. Stel dat diezelfde wetenschappers u hun apparaatje ter beschikking stellen, waarmee u de verbanden tussen de Nachtwacht en de Zonnebloemen zelf na kunt gaan. Daar de ontdekking nog erg nieuw is, en in afwachting van mogelijke geldschieters, heeft het apparaatje nog geen naam en wordt het voorlopig “L” genoemd (voor “Langlands-machine”). Het is een soort fototoestel dat je voor het schilderij kunt plaatsen. Als je door de lens kijkt dan zie je niet het schilderij zelf, maar zijn spiegelbeeld! Tenminste zo is u verteld. Vol spanning loopt u dus naar het Rijksmuseum en gaat u voor de Nachtwacht staan. Maar dan heeft u een probleem! Als u door de lens kijkt dan ziet u inderdaad een afbeelding van de Zonnebloemen, maar toch niet precies het beeld zoals het eruit zou zien als u op dat moment in het Van Gogh stond. De veranderingen in de belichting van de kamer door de ligging van zon op dat moment van de dag, de lange rijen toeristen die voor het schilderij staan en u wellicht het zicht zouden belemmeren... daarvan ziet u niets in uw apparaatje! U ziet alleen het kale spiegelbeeld dat “L” produceert! Sterker nog, wie weet of tijdens uw bezoek aan het Rijksmuseum het andere schilderij gestolen is! De enige manier om te controleren hoe het schilderij er nu daadwerkelijk uitziet is naar het Van Gogh Museum te lopen. Maar dan verliest u de Nachtwacht uit het zicht! U kunt slechts in één museum tegelijk aanwezig zijn! Toch hebben de wetenschappers een verband tussen beide voor u aangetoond!

Wat Kapustin en Witten ontdekten is het volgende. De wiskundige “spiegelbeelden” uit het Langlandsprogramma zijn niets dan elektrische en magnetische velden. Als je de toestand van elektrisch geladen deeltjes vaststelt, dan voorspelt “L” dat er allerlei spiegelbeelden van die deeltjes bestaan, die niet elektrisch maar magnetisch zijn geladen, en wat hun lading en eigenschappen zijn. Bovendien verhouden elektrisch en magnetisch zich met elkaar zoals plaats en snelheid bij Heisenberg: er is een verband tussen beide maar je kunt ze niet allebei tegelijk meten. Kijk je door “L” naar het elektrische veld (de Nachtwacht), dan zie je het magnetische spiegelbeeld (de Zonnebloemen), waar je op dat moment toch geen directe toegang toe hebt. “L” laat deze verbanden voor het eerst precies zien. Een soort Heisenbergbeginsel voor elektromagnetisme!

Het was Maxwell die in de 19e eeuw elektriciteit en magnetisme in de theorie van het elektromagnetisme onder één noemer bracht. Het menselijk lichaam wordt door de elektrische aantrekkingskracht tussen atomen bij elkaar gehouden. Aan de andere kant berust de werking van een kompas op het noordwaarts gericht-zijn van het magnetische veld van de aarde. Deze schijnbaar verschillende fenomenen, werden door Maxwell met één enkel beginsel verklaard. Elektromagnetisme heeft een grote mate van symmetrie. Alle fysische verschijnselen blijven er hetzelfde uitzien als we alle elektrische velden in het heelal door magnetische velden vervangen, en omgekeerd. Onder deze verwisseling blijven de natuurwetten namelijk ongewijzigd. Deze symmetrie is precies wat “L” doet. Voor ieder elektrisch schilderij bestaat er ook een magnetisch spiegelbeeld. Langlands symmetrie geeft bovendien extra informatie, het vertelt namelijk hoe de ladingen aan elkaar gerelateerd worden.

Uitgaand van het bestaan van deze symmetrie zou je kunnen denken dat leven op basis van magnetisch geladen deeltjes ook mogelijk moet zijn. Toch is dit niet wat de elektromagnetische symmetrie impliceert. Hoe groter de elektrische lading van een deeltje, des te kleiner de magnetische lading van diens spiegelbeeld, en omgekeerd. Het leven zou er dus heel anders uitzien in de spiegel, omdat elektrische en magnetische krachten in grootte niet gelijk zijn. “L” werkt als een spiegel, maar wel een kromme spiegel: het magnetische beeld is veel zwaarder dan het elektrische origineel. Precies dit is wat elektromagnetische dualiteit interessant en “L” tot een machtig apparaat maakt, een soort vergrootglas. Het stelt fysici voor het eerst in staat om de elektromagnetische eigenschappen van elementaire deeltjes helemaal in kaart te brengen. Als we erin slagen om die moeilijke wiskunde te temmen, dan kunnen we ook sterk interagerende magnetische velden beschrijven!

Het is op zijn minst een opmerkelijke ontdekking van Kapustin en Witten te noemen, dat de begrippen die de natuurkunde hanteert overeenkomen met wat veel wiskundigen als het belangrijkste probleem van de huidige wiskunde beschouwen. Het in een andere taal herformuleren van een probleem helpt dikwijls om tot nieuwe inzichten te komen. Het feit dat je het Langlands programma in natuurkundige termen kunt vertalen, suggereert dat fysische intuïtie een belangrijke rol kan spelen bij het vinden van een wiskundig bewijs. Dit is al het geval in het recente bewijs, door de wiskundigen Beilinson en Drinfeld, van een van vermoedens van het Langlands programma. Hun werk berust sterk op begrippen die uit de fysica komen.
Elektromagnetische dualiteit raakt de kern van elementaire-deeltjestheorieën, juist omdat zij een beschrijving van de hoogst-wisselwerkende fase van deeltjes mogelijk maakt. Als wiskundigen ons de instrumenten leveren om deze vertaalslag te maken dan hebben we een kans om voor het eerst de kern van de theorie te vatten! Het zou te kort door de bocht zijn om deze ontwikkelingen als abstracte onzin af te doen. Maar de theorie staat natuurlijk nog in haar kinderschoenen en de toekomst zal uitwijzen wie er van deze revolutie wijzer zullen worden.